如何建立BSP树
介绍
给定三维空间中的一组多边形，我们要建立的BSP树应该包含它们当中的每一个。建立BSP树的算法是非常简单的：
1.选择分割平面
如何建立BSP树
介绍
给定三维空间中的一组多边形，我们要建立的BSP树应该包含它们当中的每一个。建立BSP树的算法是非常简单的：
1. 选择分割平面
分割平面的选择依赖于BSP树将如何被使用，以及空间中多边形的排序条件。某些情况下，使用空间中某个多边形所在的平面进行分割（叫做自动分割）。在另外一些情况下，与坐标轴垂直的平面常被用做分割平面。
在任何一种情况下，对选择分割平面的策略进行评估都是很重要的。一个很普遍的想法是让BSP树的结构尽量趋近于平衡二叉树，但是这样做是有代价的。要实现一个完全平衡的BSP树，当一个多边形与分割平面相交时，它必须被分割成两部分。一个糟糕的分割平面选择策略会产生很多这样的分割。
2. 分割多边形集合
需要根据步骤1中选择的分割平面将多边形集合分解成两个子集。如果一个多边形完全处于分割平面的一侧，只需要把它添加对应的子集中。如果与分割平面相交，先将其分成两部分，再分别添加到两个子集中。
3. 何时停止分割
判断建立BSP树的递归过程在什么条件下停止，也是与具体的应用有关的。可以在接点包含的多边形数目小于某个界限时停止，也可以当BSP树的深度超过某个界限时停止。

伪代码
struct BSP_tree
{
plane     partition;
list      polygons;
BSP_tree  *front, *back;
};

这个结构体定义在下面的讨论中将被一直使用。它表示BSP树的一个接点，包含有一个分割平面，处于分割平面的多边形列表，以及指向子接点的指针。

void Buld_BSP_Tree( BSP_tree *tree, list polygons )
{
    polygon *root = polygons.Get_From_List();
    tree->partition = root->Get_Plane();
    tree->polygons.Add_To_List( root );
    list front_list, back_list;
    polygon  *poly;

    while( ( poly = polygons.Get_From_List() ) != 0 )
    {
int result = tree->partition.Classify_polygon(poly);

switch( result )
{
case COINCIDENT: // 共面
     tree->polygons.Add_To_List(poly);
     break;
case IN_BACK_OF:
     back_list.Add_To_List(poly);
     break;
case IN_FRONT_OF
     front_list.Add_To_List(poly);
     break;
case SPANNING:
     polygon *front_piece, *back_piece;
   split_Polygon( poly, tree->partition, front_piece, back_piece );
     back_list.Add_To_List( back_piece );
     front_list.Add_To_List( front_piece );
     break;
 }
       }

       if( !front_list.Is->Empty_List() )
       {
tree->front = new BSP_tree;
Build_BSP_Tree( tree->front, front_list );
       }
       if( !back_list->Is_Empty_List() )
       {
tree->back = new BSP_tree;
Build_BSP_Tree( tree->back, back_list );
       }
}

Buld_BSP_Tree函数根据以上说明的步骤递归地建立BSP树。它使用输入的多边形列表中的第一个多边形所在的平面作为分割平面，假定此列表中的每一个多边形都为凸多边形。
很明显，通过更合理的分割平面选择策略，这个函数可以得到改进，以后将详细为大家阐述
如何用平面对多边形分类

用平面对多边形分类也就是判断平面位于多边形的哪一边。这通常被称为前/后测试，是通过测试多边形的每一个顶点与平面的位置关系来完成的。基本的算法就是遍利多边形的每一条边，找出那些两个顶点分别位于多边形两侧的边，交点将成为分割出的两个多边形的新曾顶点。

关于实现：
用平面对顶点分类，只需要把顶点的XYZ坐标值代入平面方程，AX+BY+CZ +D = 0，结果的绝对值为顶点到平面的距离，结果的符号与平面法线的方向有关。如果顶点位于平面法线所指的半平面，结果为正，否则为负。

下面是分割一个凸多边形的C++伪代码。
#define EPSILON numeric_limits<float>::epsilon( )

void SplitPolygon(polygon *poly, plane *part, polygon **front, polygon **back)
{
size_t verNum = poly->NumVertices();

point ptA, ptB;
float distA, distB;
std::vector<point> verFront, verBack;

ptA = poly->Vertex[verNum-1];
distA = poly->ClassifyPoint( ptA ); //求带符号距离

for( size_t i = EPSILON; ++i < verNum; )
{
ptB = poly->Vertex[i];
distB = poly->ClassifyPoint( ptB );

if( distB > EPSILON && distA < -EPSILON )
{
vector v = ptA - ptB;
normalize(v);
float sect = -part->ClassifyPoint(ptA) / Dot(poly->normal(), v );
verFront.push_back(ptA+(v*sect));
verBack.push_back(ptA+(v*sect));
verFront.push_back(ptB);
}
else if( distB<-EPSILON && distA>EPSILON )
{
vector v = ptB - ptA;
normalize(v);
float sect = -part->ClassifyPoint(ptB) / Dot(poly->normal(), v );
verFront.push_back(ptB+(v*sect));
verBack.push_back(ptB+(v*sect));
verBack.push_back(ptB);
}
else if( distB>EPSILON && distA>EPSILON )
{
verFront.push_back(ptB);
}
else if( distB<-EPSILON && distA<-EPSILON )
{
verBack.push_back(ptB);
}
else if( distB>-EPSILON && distB<EPSILON )
{
verFront.push_back(ptB);
verBack.push_back(ptB);
}

ptA = ptB;
distA = distB;
}

if( !verFront.empty() )
*front = new polygon(verFront);
if( !verBack.empty() )
*back = new polygon(verBack);
}

 

  的确，正如许多人所说的那样，现在有有FPU，有3DNow，有SIMD，讨论软件算法好像不合时宜。关于sqrt的话题其实早在2003年便已在  GameDev.net上得到了广泛的讨论（可见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴 趣和好奇心（换句话说就是无知）。
  我只是个beginner，所以这种大是大非的问题我也说不清楚（在GameDev.net上也有很多类 似的争论）。但无论如何，Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法，而多知道一点数学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是 数学，数学，还是数学。
  在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。
  Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
// 计算参数x的平方根的倒数
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
float InvSqrt (float x)
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
    x = *(float*)&i;
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法
    return x;
}
  算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级数（Taylor Series）。 NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其 公式如下：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
函数：y=f(x)
其一阶导数为：y'=f'(x)
则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为
x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
 NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。
  现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：
        x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
        将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。
  接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：
         i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
   超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以GOOGLE）：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
bits：31 30 ... 0
31：符号位
30-23：共8位，保存指数（E）
22-0：共23位，保存尾数（M）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
  所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i>>1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。
  至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。
  那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了 最前面的1，所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的 泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于实数R>0，假设其在IEEE的浮点表示中，
指数为E，尾数为M，则：
    R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
    将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：
    原式= (1-M/2) * 2^(-E/2)= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

  如果不考虑指数的符号的话，(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：

    原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C为常数
    所以只需要解方程：
    R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)= C - (R>>1)
    求出令到相对误差最小的C值就可以了
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
  上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接。
  所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化。
  在GameDev.net 上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e- 004 的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提 高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。

  值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是 0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害 （天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话， 算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。

  这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。
  下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会受到律师信。
// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数 

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                        // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?  

    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed ,
    //对于游戏上面这句可以屏蔽，不需要那么高的精度，反倒是速度要紧
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
    assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
    return y;
}

同样对于 double 这个魔法数是0x5fe6ec85e7de30da ,如果在单片机环境可以试试可以使用如下代码
double InvSqrt(double number)
{
    __int64 i;
    double x2, y;
    const double threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( __int64 * ) &y;
    i  = 0x5fe6ec85e7de30da - ( i >> 1 );
    y  = * ( double * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    return y;
}